UNIDAD II

FUNCIONES

DOMINIO. Es el conjunto de elementos que hacen posible una función.

RANGO. Es el conjunto de elementos que son el reflejo o imagen de la relación.

                                                    EJEMPLO

EJERCICIOS

TIPOS DE GRÁFICAS

CRECIENTE

DECRECIENTE

CONTINUAS

DESCONTINUAS

OPERACIONES CON FUNCIONES

EJERCICIOS

TEMA DE FUNCIONES

DEFINICIÓN

Una función f es una regla de correspondencia que asocia a cada objeto de x en un conjunto denominado dominio, un solo valor f(x) de un segundo conjunto. El conjunto de todos los valores así obtenidos se denomina rango de la función.

Al definir la función como el conjunto de pares ordenados de números reales (x, y), tales que dos pares distintos no tienen el mismo primer elemento; al conjunto de todos los valores de los primeros elementos (x) de los pares ordenados, se le denomina dominio de la función y se denota por “Df”; al conjunto de todos los valores de los segundos elementos (y) de los pares ordenados, se le denomina rango de la función y se denota por “Rf”.

REPRESENTACIÓN

NOTACIÓN FUNCIONAL.Una sola letra como f(g o f) se utiliza para nombrar una función, entonces f(x), denota el valor que f asigna a x.

La representación gráfica de una función permite visualizar de un modo claro y preciso su comportamiento.

Una función f asigna a cada número x del conjunto origen, un número y = f(x) del conjunto imagen.

El conjunto de los pares de números (x, y) determinados por la función recibe el nombre de grafo de la función.

Para obtener los pares basta con dar valores a la variable independiente x, y obtener los correspondientes de la variable dependiente y formando así una tabla de valores de la función.

Una vez obtenidos los pares de números, se representan en un sistema de ejes cartesianos, que consiste en dos ejes perpendiculares que se cortan en un punto, llamado origen de coordenadas, y representando por 0; el eje horizontal recibe el nombre de eje de abscisas, y en él se representan los valores de la variable independiente; el eje vertical recibe el nombre de eje de ordenadas, y en él se representan los valores de la variable dependiente. Cada par de números corresponde a un punto del plano. Uniendo todos los puntos, se obtiene la gráfica  de la función.

MEDIANTE UN TEXTO. Una descripción verbal nos puede indicar, aunque de manera cualitativa, como se relacionan entre si las dos variables, por ejemplo: el precio de una bolsa de pipas es 1,5 euros.

MEDIANTE EL USO DE TABLAS. También la relación entre dos magnitudes se puede expresar mediante una tabla de valores.

X	-1	0	½	1	2
Y	1	0	¼	1	4

Para cada par de valores (x, y), el valor (y) depende del valor que tome x; por eso, ambos se denominan variables, porque toman valores distintos.

EXPRESIÓN ALGEBRAICA O ECUACIÓN DE UNA FUNCIÓN

Una expresión algebraica es un conjunto de diversos números y letras unidas mediante las operaciones aritméticas, podemos escribir la relación entre dos magnitudes con una expresión algebraica, combinando letras, números y signos aritméticos.

Y = f(x), es la expresión general de una función o ecuación de una función.

RELACIÓN ENTRE CONJUNTOS

Dados dos conjuntos A y B, una función entre ellos es una asociación f que cada elemento de A le asigna un único elemento de B.

Se dice entonces que A es el dominio (también conjunto de partida o conjunto inicial) de f  y que B es su rango (también conjunto de llegada o conjunto final).

Se dice que dos conjuntos son cardinales o equipolentes cuando están formados por el mismo número de elementos.

Imaginemos que tenemos dos conjuntos: A y B, establecer una relación entre ellos es relacionar los elementos del conjunto A con los elementos del conjunto B, observa las siguientes observaciones:

·         Cada elemento del conjunto A debe estar relacionado con un único elemento del conjunto B.

·         Cada elemento del conjunto B debe estar relacionado con un único elemento del conjunto A.

MÉTODOS PARA GRAFICAR

Cada una de las ecuaciones que forman un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas, es la de una función de primer grado, es decir, una recta. El método para resolver este tipo de sistemas consiste por tanto en representar en unos ejes cartesianos, o sistema de coordenadas, ambas rectas y comprobar si se cortan y, si es así, donde el proceso de resolución de un sistema de ecuación mediante el método grafico se resume en los siguientes pasos:

1.    Se despega la incógnita

2.    Se construye para cada uno de las funciones de primer grado obtenidas, la tabla de valores correspondientes.

3.    Se representan gráficamente ambas rectas en los ejes coordenados.

4.    En este último paso hay 3 posibilidades:

a)    Si ambas rectas se cortan las coordenadas del punto de corte son los únicos valores correspondientes.

b)    Si ambas rectas son coincidentes el sistema tiene infinitas soluciones que son las respectivas coordenadas de todos los puntos de la recta en la que coinciden ambos sistemas compatibles indeterminados.

c)    Si amabas rectas son paralelas, el sistema no tiene solución, sistema incompatible.

OPERACIONES CON FUNCIONES

·         SUMA DE FUNCIONES

Sean f y g dos funciones reales de variable real definidos en un mismo intervalo. Se llama suma de ambas funciones, y se representa por f + g, a la función definida por:

(f + g)(x) = f(x) + g(x)

·         RESTA DE FUNCIONES

Del mismo modo que se ha definido la suma de funciones, se define la resta de dos funciones reales de variable real f y g, como la función:

(f - g)(x) = f(x) - g(x)

·         PRODUCTO DE FUNCIONES

Sean f y g dos funciones reales de variable real, y definidas en un mismo intervalo, se llama función, producto de f y g a la función definida por:

(f * g)(x) = f(x) * g(x)

·         COCIENTE DE FUNCIONES

Dadas dos funciones reales de variable real, f y g y definidas en un mismo intervalo, se llama función cociente de f y g a la función definida por:

f/g(x) = f(x)/g(x)

(La función f/g está definida en todos los puntos en los que la función g no se anula)

·         PRODUCTO DE UN NUMERO POR UNA FUNCION

Dado un número real a y una función f, el producto del número por la función es la función definida por:

(a * f)(x) = a * f(x)

                                          EJERCICIOS

FUNCIÓN INYECTIVA:

Solo puede tener un solo valor, que solo tiene una pertenencia en el rango (solo un elemento).

g(x) = (x)(x) + 1

FUNCIÓN SUPRAYECTIVA:

Es cuando a cada elemento del condominio es imagen de algún elemento del dominio.

FUNCION REAL:

Es la utilización de todos los números reales.

                                                    EJERCICIOS

FUNCIÓN POLINOMIAL:

Es toda función que se puede expresar de la forma de x tiende p(x).

La polinomial se divide en:

- Lineales

- Polinomicas

- Racionales

- Cuadráticas

- Irracionales o raíz

Primer grado = / - \ I

Cuadrática = U n C

Cubicas = O

FUNCIÓN TRASCENDENTE:

Son los que no se pueden ligar a la variable independiente por medio de las básicas.

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Sen0 = C * O / H

Cos0 = C * A / H

Tang0 = C * O / C * A

Cotang0 = C * A / C * O

Secante0 = H / C * A

Csc0 = H / C * O

ÁLGEBRA DE FUNCIONES

Si dos funciones f  y  g están definidas para todos los números reales, entonces es posible hacer operaciones numéricas reales como la suma, resta, multiplicación y división (cociente) con f(x) y g(x).

Definición: La suma, resta, multiplicación y cociente de las funciones f  y  g son las funciones definidas por:

Cada función está en la intersección de los dominios de  f  y  g,  excepto que los valores de  x  donde  g(x) = 0 se deben excluir del dominio de la función cociente.

Ejemplos para discusión:

1)  Sea f(x) = x²  y  g(x) = x - 1.  Halla la suma, resta, multiplicación y cociente de las funciones f  y  g.  Señala el dominio para cada una de ellas.

2)  Sea:

Halla la suma, resta, multiplicación y cociente de las funciones.  Indica cuál es el dominio para cada una de ellas.

Ejercicio de práctica: Sea f(x) = 3x  y  g(x) = x + 2. Halla la suma, resta, multiplicación y cociente de las funciones.  ¿Cuál es el do-minio en cada una de ellas?

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

Definición: Dadas las funciones f  y  g,  la composición de f  y  g, se define por:

Donde g(x) es el dominio de f.  La composición de g  y  f  se define por:

Ejemplos para discusión: Halla f(g(x))  y  g(f(x)) para cada par de funciones y su dominio.

Notas:

1)  El dominio f(g(x)) es subconjunto del dominio de g  y el recorrido de f(g(x)) es subconjunto de recorrido de f.

2)  Si las funciones f  y g  están definidas para todos los números reales, entonces también su composición f(g(x) está definida.

Ejercicio de práctica: Halla: f(g(x)),  g(f(x)) y el dominio de cada composición si:

 

RADIANES

RADIAN. Es la medida de un ángulo con vértice en el centro de una circunferencia y cuyos lados interceptan un arco de longitud igual al radio.

Los grados y los radianes son dos diferentes sistemas para medir ángulos. Un ángulo de 360º equivale a 2 pi radianes (rad). Un ángulo de 180º equivale a pi rad.

0º  = 0 rad

90º = pi / 2 rad = 1.57

180º = pi rad = 3.14

270º = 3 pi / 2 = 4.71

360º = 2 pi = 6.28

Para convertir de grados a radianes o viceversa, partimos de que 180º equivale a pi rad, luego planteamos una regla de tres  y resolver.  

Radianes  = grados

Grados = radianes 

FUNCIONES INVERSAS

Se llama función inversa o reciproca de f a otra función f⁻¹ que cumple que:

Si f(a) = b, entonces f⁻¹(b) = a.

Veamos un ejemplo a partir de la función f(x) = x + 4

Podemos observar que:

El dominio de f⁻¹ es el recorrido de f.

El recorrido de f⁻¹ es el dominio de f.

Si queremos hallar el recorrido de una función tenemos que hallar el dominio de su función inversa.

Si dos funciones son inversas su composición es la función identidad.

(f o f⁻¹) (x) = (f⁻¹ o f) (x) = x

Las gráficas de f y f^-1 son simétricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante.

Hay que distinguir entre la función inversa, f⁻¹(x), y la inversa de una función, .

Cálculo de la función inversa

1.Se escribe la ecuación de la función con x e y.

2.Se despeja la variable x en función de la variable y.

3.Se intercambian las variables.

Ejemplos

Calcular la función inversa de:

1. 

Vamos a comprobar el resultado para x = 2

2. 

3.